Floating Point Notazione Binaria Options

Frazioni binarie Mentre lavorano lo stesso principio, frazioni binarie sono differenti da frazioni decimali in quali numeri possono rappresentare accuratamente con un dato numero di cifre, e quindi anche in quali numeri si traducono in errori di arrotondamento: Specificamente, binario può rappresentare solo quei numeri come una frazione finita in cui il denominatore è una potenza di 2. Purtroppo, questo non comprende la maggior parte dei numeri che possono essere rappresentati come frazione definita in base 10, come 0,1. Arrotondato a 4 cifre valore come frazione arrotondati e in questo modo si ottiene già un errore di arrotondamento quando basta annotare un numero come 0,1 e correre attraverso il vostro interprete o compilatore. La sua non è così grande come 380 e può essere invisibile perché i computer tagliati fuori dopo 23 o 52 cifre binarie anziché 4. Ma l'errore è lì e causerà problemi alla fine solo se si ignorano. Perché usare binario Al livello più basso, i computer sono basati su miliardi di elementi elettrici che hanno solo due stati, (di solito a bassa e alta tensione). Interpretando questi come 0 e 1, la sua molto facile da costruire circuiti per la memorizzazione dei numeri binari e fare calcoli con loro. Mentre la sua possibile simulare il comportamento di numeri decimali con circuiti binarie così, la sua meno efficiente. Se i computer i numeri decimali utilizzati internamente, theyd hanno meno memoria e più lenta allo stesso livello di tecnologia. Poiché la differenza di comportamento tra numeri binari e decimali non è importante per molte applicazioni, la scelta logica è costruire computer basati su numeri binari e vivere con il fatto che alcuni attenzione e sforzo sono necessari per applicazioni che richiedono un comportamento decimale simile. Il Floating-Point Guida Home Basic Risposte Riferimenti xkcd Numero Formats3.10.1.The Basics virgola mobile aggira le limitazioni del punto fisso utilizzando un formato simile alla notazione scientifica. Un numero notazione scientifica, come probabilmente sai, costituito da una mantissa (3.52 nell'esempio precedente) una radice (sempre 10), ed un esponente (3 nell'esempio precedente). Pertanto, il formato generale di un valore notazione scientifica è: mantissa x radix esponente La forma normalizzata ha sempre una mantissa maggiore o uguale a 1,0 e inferiore a 10,0. Siamo in grado di denormalizzare il valore ed esprimere in molti altri modi, come ad esempio il 35,2 x 10 2. o 0,00,325 mila x 10 0. Per ogni posizione spostiamo le cifre della mantissa rispetto al punto decimale, abbiamo aumentare o diminuire il valore del mantissa di un fattore 10. per compensare questo, abbiamo semplicemente aumentare o diminuire l'esponente di 1. denormalizing è necessaria quando si aggiungono i valori notazione scientifica: Regolazione della mantissa e l'esponente è talvolta necessario per normalizzare i risultati. Ad esempio, 9,9 x 10 2 9,9 x 10 2 è 19,8 x 10 2. che deve essere normalizzato a 1,98 x 10 3. Un sistema flottante binario memorizza una mantissa binario firmato e esponente binario firmato, e di solito usa una radice di 2. Utilizzando una radice di 2 (o qualsiasi potenza di 2) consente di normalizzare e denormalizzare spostando le cifre binarie nella mantissa e regolando l'esponente intero sulla radice di 2. (spostamento cifre binarie nei bit mantissa n verso sinistra o moltiplica destra o divide la mantissa da 2 n. 00010) 2 x 2 3 01000 2 x 2 1. I formati virgola mobile standard sono definiti dalla società IEEE. I formati IEEE sono leggermente più complesse a quelle necessarie per comprendere in virgola mobile in generale, in modo che inizieranno con un esempio più semplice qui. 3.10.2.A semplice virgola mobile Formato Supponiamo che un formato in virgola mobile a 32 bit ha un 24-bit complemento a due mantissa, un due a due a 8 bit completano l'esponente, e una radice di 2. La struttura generale è: mantissa x 2 esponente Dove mantissa è un 24-bit complemento a due numeri interi, e l'esponente è un due a due a 8 bit completano intero. Il formato binario è il seguente: Table3.3.Floating Point Format Qual è il valore del numero La mantissa è 000000000000000000010010, o (2 16) 18. L'esponente è 11111100 - (00000011 1) -00.000.100 -4. Il valore è quindi 18 x 2 -4 Qual è il più grande valore positivo possiamo rappresentare in questo sistema il più grande valore positivo consisterà nella più grande mantissa positivo e il più grande esponente positivo. Il più grande mantissa è 011111111111111111111111, che in complemento a due è di 2 23 -1 (8388607). Il più grande esponente è 01111111, che in complemento a due è 2 7 -1 (127). Quindi, il più grande valore positivo è 8388607 x 2 127 1,42 x 10 45. Qual è il secondo più grande valore positivo Qual è la differenza tra il più grande e il secondo più grande Qual è il più piccolo valore positivo Per trovare il più piccolo valore positivo nella forma mantissa x radix esponente. abbiamo scelto il più piccolo mantissa positivo, e il più piccolo esponente negativo (l'esponente negativo con la massima ampiezza). Poiché la mantissa è un numero intero, il più piccolo valore positivo possibile è 1. Poiché l'esponente è un twos 8 bit completano valore, il più piccolo esponente negativo è 10000000 2. di -2 7 -128. Da qui il valore minimo positivo è 1 x 2 -128. o 2,93873587706 x 10 -39. Qual è il secondo più piccolo valore positivo Qual è la differenza tra il più piccolo e il secondo più piccolo Rappresentare -2.75 in questo virgola mobile System. Convert il numero di punto fisso binario utilizzando i metodi descritti nelle sezioni precedenti: Moltiplicare per esponente radice pari a 1: Shift il punto binario per rendere la mantissa un numero intero: - (1011 2) spostando il punto binario due posti a destra, moltiplichiamo la mantissa da 2 2. abbiamo quindi dobbiamo dividere (radix esponente) dello stesso fattore: Convertire il mantissa ed esponente nei formati specificati (complemento a due in questo caso): mantissa: - (000000000000000000001011) 111111111111111111110101 Esponente: -2 10 11111110 rappresentazione binaria 11111111111111111111010111111110 quanti valori diversi può rappresentare questo sistema 3.10.3.Overflow e underflow Overflow si verifica quando il risultato di un'operazione in virgola mobile è maggiore del massimo valore positivo o minore del più piccolo valore negativo. In altre parole, l'ampiezza è troppo grande per rappresentare. Underflow si verifica quando il risultato di un'operazione in virgola mobile è inferiore al minimo valore positivo, o maggiore del valore più grande negativo. In altre parole, l'ampiezza è troppo piccolo per rappresentare. L'esempio formato a 32 bit di cui sopra non può rappresentare valori superiori a circa 10 45 o inferiore a circa 10 -39. Una tecnica per evitare di overflow e underflow è a operazioni alternativi che aumentare e diminuire i risultati intermedi. Invece di fare tutte le moltiplicazioni prime, che potrebbero causare overflow o tutte le divisioni prima, che potrebbero causare underflow, potremmo moltiplicazioni e divisioni si alternano a moderare i risultati lungo la strada. Tecniche come queste devono spesso essere utilizzati in complessi calcoli scientifici. 3.10.4.Cost di Floating Point Tutto ha un costo. L'aumento della gamma e la capacità di rappresentare i numeri non interi non fa eccezione. Ci sono solo 2 32 modelli di 32 0 e 1. Quindi, ci sono solo 2 32 numeri unici che possiamo rappresentare in 32 bit, indipendentemente dal formato. Così come è possibile che possiamo rappresentare i numeri fino a 10 45. Ovviamente, dobbiamo essere sacrificando una via di mezzo. Che virgola mobile fa per noi è cosparsa il numero limitato di modelli binari che abbiamo a disposizione per coprire una gamma più ampia di numeri. Più grande l'esponente, maggiore è la distanza tra numeri consecutivi che possiamo rappresentare accuratamente. Vicino a 0, possiamo rappresentare molti numeri in un piccolo intervallo. Lontano da zero, ci sarà un intero intervallo di numeri interi che non possono essere rappresentati. La precisione di un valore di virgola mobile a 32 bit è inferiore alla precisione di un intero a 32 bit. Utilizzando 8 bit per l'esponente, sacrifichiamo questi 8 bit di precisione. Quindi, il formato di esempio ha la stessa precisione come sistema intero con segno a 24 bit. Prestazioni aritmetica sul virgola mobile è diverse volte più lento rispetto a numeri interi. Questa è una proprietà intrinseca del formato. Si consideri il processo di aggiunta di due valori notazione scientifica. Equalizzare la esponenti Aggiungere mantisse normalizzare il risultato Ciascuna di queste operazioni prendere all'incirca la stessa quantità di tempo in un computer come un'unica aggiunta intero. Dal momento che in virgola mobile viene memorizzato come notazione scientifica, ci si può aspettare in virgola mobile, oltre a prendere circa tre volte più a lungo, oltre integer. In realtà, un tipico PC è di circa 2,5 volte più a lungo per eseguire un punto di un'istruzione aritmetica in virgola mobile, come fa a fare la stessa istruzione intero. Questo si applica solo alle operazioni che possono essere eseguite utilizzando una singola istruzione intero o una singola istruzione in virgola mobile. Per esempio, supponiamo che un programma è in esecuzione su un computer a 32 bit, e non c'è modo di rappresentare i dati all'interno della gamma di un intero a 32 bit. In questo caso, più istruzioni integer saranno necessari per elaborare valori interi di più di 32 bit, e il vantaggio della velocità di interi non si applica. E 'possibile anche in alcuni sistemi che operazioni in virgola mobile e interi potrebbe avvenire nello stesso tempo, e quindi utilizzando l'hardware in virgola mobile potrebbe causare prestazioni migliori di eseguire operazioni di interi aggiuntivi mentre l'unità a virgola mobile rimane inattivo. Questo è il caso di rendering grafico che si verifica utilizzando virgola mobile sull'unità di elaborazione grafica (GPU) anziché la CPU. Non avrebbe senso spostare i calcoli di rendering alla CPU per utilizzare interi, in quanto ciò aumentare il carico di lavoro per la CPU e consentire l'alimentazione della GPU vada sprecato. Se l'hardware è flottante sostegno punto built-in, le operazioni più comuni, come poi in virgola mobile addizione, sottrazione, ecc può ogni essere gestito da una singola istruzione. Se l'hardware non ha una unità in virgola mobile (comune nei processori embedded), operazioni in virgola mobile deve essere gestito da routine software. Quindi, l'aggiunta di due valori in virgola mobile richiederà decine di istruzioni per completare invece di uno solo. Questi saranno centinaia di volte più lento di numeri interi, e si consumano una grossa fetta di memoria di programma disponibile. La maggior parte dei algoritmi possono essere implementati usando numeri interi con un piccolo pensiero. L'uso della virgola mobile è spesso il risultato di pura pigrizia. Dont usare punto solo perché la sua intuitiva galleggiante. Più consumo di energia. CPU raggiungere il loro massimo consumo di energia quando fare calcoli intensivi in ​​virgola mobile. Questo non è solitamente visibile su un PC desktop, ma può diventare un problema su grandi griglie costituite da centinaia di PC, poiché la rete elettrica sono allegati non può essere progettato per fornire la massima estrazione. Può anche essere un problema quando si esegue un computer portatile a batteria, mentre facendo i calcoli intensivi. La durata della batteria mentre si fa calcoli intensivi in ​​virgola mobile potrebbe essere una piccola frazione di quello che è durante la lettura di posta elettronica, navigare sul web, o la modifica di un documento in OpenOffice. Decimal di conversioni la procedura di conversione in virgola mobile Le regole per la conversione di un numero decimale in galleggiante punto sono i seguenti: convertire il valore assoluto del numero in binario, magari con una parte frazionaria dopo il punto binario. Questo può essere fatto convertendo le parti integranti e frazionarie separatamente. La parte integrale viene convertito con le tecniche esaminate in precedenza. La parte frazionaria può essere convertita per moltiplicazione. Questo è fondamentalmente l'inverso del metodo della divisione: abbiamo ripetutamente moltiplichiamo per 2, e Harvest ognuno bit come appare a sinistra del decimale. Append volte 2 0 fino alla fine del numero binario (che non cambia il suo valore). Normalizzare il numero. Spostare il punto binario in modo che sia un bit da sinistra. Regolare l'esponente di due in modo che il valore non cambia. Posizionare la mantissa nel campo mantissa del numero. Omettere lo uno, e riempire con zeri sulla destra. Aggiungere il bias per l'esponente di due, e posizionarlo nel campo dell'esponente. La polarizzazione è 2 k minus1 meno 1, dove k è il numero di bit nel campo dell'esponente. Per il formato a otto bit, k 3, in modo che il bias è 2 3minus1 meno 1 3. Per IEEE a 32 bit, k 8, in modo che il bias è 2 8minus1 meno 1 127. Impostare il bit di segno, 1 per negativo, 0 per positivo, a seconda del segno del numero originale. Utilizzando la procedura di conversione Conversione 2,625 al nostro formato in virgola mobile a 8 bit. La parte integrale è facile, 2 10 10 2. Per la parte frazionaria: Generazione 1 e non rimane nulla. Così 0,40625 10 0,01101 2. Normalizzare: 0.01101 2 1.101 2 volte 2 -2. Mantissa è 1010, esponente è -2 3 1 001 2. bit di segno è 0. Quindi 0,40,625 mila è 0 001 1010 1a 16 Converti -12.0 al nostro formato in virgola mobile a 8 bit. 12 10 1100 2. Normalizzare: 1100.0 2 1.1 2 volte 2 3. Mantissa è 1000, esponente è 3 3 6 110 2. bit di segno è 1. Così -12.0 è 1 110 1000 e8 16 Conversione decimale 1,7 al nostro formato in virgola mobile a 8 bit. La parte integrale è facile, 1 10 1 2. Per la parte frazionaria: Generazione 1 e continuare con il resto. Il motivo per cui il processo sembra continuare all'infinito è che lo fa. Il numero 710, che effettua una frazione decimale perfettamente ragionevole, è una frazione ripetuta in binario, così come la fazione 13 è una frazione ripetuta in decimale. (Si ripete in binario pure.) Non possiamo rappresentare questo esattamente come un numero in virgola mobile. Il più vicino si può venire in quattro bit è 0,1011. Dal momento che abbiamo già un leader 1, il miglior numero otto bit che possiamo fare è 1,1011. Già normalizzato: 1.1011 2 1,1011 2 volte 2 0. Mantissa è 1011, esponente è 0 3 3 011 2. bit di segno è 0. Il risultato è 0 011 1011 3b 16. Questo non è esatto, naturalmente. Se si converte di nuovo a decimale, si ottiene 1,6875. Convertire -1313.3125 IEEE formato in virgola mobile a 32 bit. La parte integrale è 1313 10 10.100.100,001 mila 2. Il frazionale: Genera 0 e continuare.